Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP. 已知动点运动了x秒.

【小题1】P点的坐标为（            ，              ）；（用含x的代数式表示）
【小题2】试求⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
【小题3】请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。

Answer 1

p;【答案】
【小题1】(3—x , x)
【小题2】设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=3—x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤3.
∴S=（3—x）×x …………………………………………4分
=(—x²+3x) = —(x—)²+
∴S的最大值为 …………………………………………5分
此时x =. …………………………………………………6分
【小题3】)延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ
①若ＭＰ＝ＰＡ
∵ＰＱ⊥ＭＡ
∴ＭＱ＝ＱＡ＝x.
∴3x="3," ∴x="1 " …………………………………………7分
②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝3—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝３—x
在Ｒt⊿ＰＭＱ中，∵ＰＭ²＝ＭＱ²＋ＰＱ²
∴(３—x) ²=(3—2x) ²+ (x) ²
∴x= …………………………………………8分③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝３—x
∴x=３—x
∴x= 
综上所述，x=1，或x=，或x=。…………………………………9分
（注：如果多解，统扣1分）解析:
略