Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k-3）x+4-k=0．问：是否存在实数k，使方程的两个实根之差的绝对值为1？若存在，求出k值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：假设存在实数k，设方程两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得：x₁+x₂=k-3，x₁x₂=4-k，再根据两个实根之差的绝对值为1即可求解．

解答：解：假设存在实数k，设方程两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=k-3，x₁x₂=4-k，
又∵|x₁-x₂|=1，
∴x₁²-2x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
即：（k-3）²-4（4-k）=1，
解得：k=4或k=-2．
∵△=（k-3）²-4（4-k）≥0，解得：k≥1+2

2

或k≤1-2

2

，
故k=4或k=-2．
说明存在k=4或k=-2使方程的两个实根之差的绝对值为1．

点评：本题考查了根与系数的关系，难度一般，关键掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．