题目内容

证明： $数学公式$ ≤ $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＜ $数学公式$ （n为正整数）．

证明： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，（n为正整数，n=1时 $\text{[math]}$ 最小），
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ （n为正整数）．
分析：利用 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）把 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ （n为正整数）的每个分数进行转化得到 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），然后进行括号内的加减运算，最后得到 $\text{[math]}$ ，n为正整数，当n=1时 $\text{[math]}$ 最小；并且 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可得到结论．
点评：本题考查了有理数的混合运算：当n为正整数，分数 $\text{[math]}$ 可化为分数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分数的差的 $\text{[math]}$ ．