Question

如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．

(1)①直接写出点E的坐标：　(1，)　．

②求证：AG＝CH．

(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．

(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

Answer 1

考点：

切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：

计算题；证明题。

分析：

(1)①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标；②推出CE＝AE，BC∥OA，推出∠HCE＝∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可；

(2)连接DE并延长DE交CB于M，求出DD＝OC＝OA，证△CME≌△ADE，求出CM＝AD＝1，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH＝HF＝x，推出(1－x)²＋()²＝(＋x)²，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y＝kx＋b，把G、H的坐标代入求出即可；

(3)连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO＝∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE＝∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出，设半径为r，代入求出即可．

解答：

(1)①解：E的坐标是：(1，)，

故答案为：(1，)；

②证明：∵矩形OABC，

∴CE＝AE，BC∥OA，

∴∠HCE＝∠EAG，

∵在△CHE和△AGE中

，

∴△CHE≌△AGE，

∴AG＝CH．

(2)解：连接DE并延长DE交CB于M，

∵DD＝OC＝1＝OA，

∴D是OA的中点，

∵在△CME和△ADE中

，

∴△CME≌△ADE，

∴CM＝AD＝2－1＝1，

∵BC∥OA，∠COD＝90°，

∴四边形CMDO是矩形，

∴MD⊥OD，MD⊥CB，

∴MD切⊙O于D，

∵得HG切⊙O于F，E(1，)，

∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，

在Rt△MHE中，有MH²＋ME²＝HE²

即(1－x)²＋()²＝(＋x)²，

解得x＝，

∴H(，1)，OG＝2－＝，

又∵G(，0)，

设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，

把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，

解得：k＝－，b＝，

∴直线GH的函数关系式为y＝－．

(3)解：连接BG，

∵在△OCH和△BAG中

，

∴△OCH≌△BAG，

∴∠CHO＝∠AGB，

∵∠HCO＝90°，

∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，

∴OH平分∠CHF，

∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，

∵△CHE≌△AGE，

∴HE＝GE，

在△HOE和△GBE中

，

∴△HOE≌△GBE，

∴∠OHE＝∠BGE，[来源:学科网]

∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，

∴∠BGA＝∠BGE，

即BG平分∠FGA，

∵⊙P与HG、GA、AB都相切，

∴圆心P必在BG上，

过P做PN⊥GA，垂足为N，

∴△GPN∽△GBA，

∴，

设半径为r，

＝，

解得：r＝，

答：⊙P的半径是．

点评：

本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．