Question

如图，已知直角梯形COAB中，CB‖OA，以O为原点，建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（6，0）、B（3，4）、C（0，4），D为OA的中点，动点P在线段AB上沿A至 B的方向运动，速度为每秒1个单位，运动时间记为t秒．
（1）动点P在从A到B的运动过程中，记△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值；
（2）在动点P从A到B的运动过程中，是否存在某个时刻，使得四边形PBCD为等腰梯形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BD，过P作PE⊥OA于E，由D为OA中点可知AD=OD=BC=3，BD=CO=4，所以BC∥OD，BC=OD，再判断出四边形ODBC为矩形，在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB的长，再由Rt△APE∽Rt△ABD可得出=，，进而得出PE的长，由三角形的面积即可得出结论；
（2）因为BC∥AD，且BC=AD可得出四边形ABCD为平行四边形，由PB∥CD可知设在点P处四边形PBCD为等腰梯形，则PD=AD=BC=3．过D作DF⊥AB于F，AF=PF，再由DF==即可求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．
解答：解：（1）连接BD，过P作PE⊥OA于E．
∵D为OA中点，
∴AD=OD=BC=3，BD=CO=4，
∴BC∥OD，BC=OD；
又∵∠DOC=90°，
∴四边形ODBC为矩形，
∴BD⊥OA，AB=，
∵Rt△APE∽Rt△ABD，
∴，
∴，
∴，（0≤t≤5）
∴当t=5时，S_最大=6；

（2）存在．连接CD，由题意得：BC∥AD，且BC=AD
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴PB∥CD．        
设在点P处四边形PBCD为等腰梯形，则PD=AD=BC=3．
过D作DF⊥AB于F，则AF=PF，
又∵，
∴（秒）
即此时t=3.6秒．．
点评：本题考查的是相似三角形综合题及勾股定理，熟知相似三角形的判定与性质、勾股定理及等腰三角形的性质是解答此题的关键．