Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（2

3

，O）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，
（1）求点P的坐标；

（2）连BP、AP，在PB上任取一点E，连AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B、P重合），求

BE

PG

；

Answer 1

分析：（1）连接BP、AP，过P作x轴的垂线，设垂足为Q；由圆周角定理知AB是⊙O的直径，而∠AOP=45°，
得出OP平分∠AOB，则弧BP=弧AP，由此可证得△ABP是等腰Rt△；易求得直径AB的长，即可求出AP的值；在Rt△APQ中，易知PQ=OQ，可用OQ表示出BQ，由勾股定理即可求得OQ、PQ的长，即可得出P点的坐标．
（2）先过F作FK⊥AP，再证明△AFK≌△EAP和△GFK≌△CBP，最后解出结果即可．

解答：解：（1）连接AP、BP，过P作PQ⊥x轴于Q；

∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2

3

，由勾股定理，得AB=4；
∵∠AOP=45°，
∴OP平分∠AOB，
∴弧BP=弧AP；
则△ABP是等腰Rt△，AP=2

2

；
Rt△POQ中，∠POQ=45°，则PQ=OQ；
设PQ=OQ=x，则AQ=2

3

-x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP²=AQ²+PQ²，即（2

3

-x）²+x²=8，
解得x=

3

+1，x=

3

-1（舍去），
∵∠POA=45°，∠PQO=90°，
∴PQ=OQ=x=

3

+1；
即P点坐标为（

3

+l，

3

+1）；

（2）过F作FK⊥AP，则△AFK≌△EAP，

∴AK=PE，FK=AP=BP，
∴AP-AK=BP-PE，
∴PK=BE，
在△GFK和△GBP中，

∠FGK=∠PGB ∠FKG=∠BPG FK=PB

∴△GFK≌△GBP，
∴PG=GK，
∴PG=

1

2

PK=

1

2

BE，
∴

BE

PG

=2；

点评：此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力；能够构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．