Question

如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2

3

，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
（参考数据：sin60°=

3

2

，cos30°=

3

2

，tan30°=

3

3

．）

Answer 1

分析：（1）连接OB、OC，作OE⊥BC于点E，由垂径定理可得出BE=EC=

3

，在Rt△OBE中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出∠BOE的度数，再由圆周角定理即可求解；
（2）因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答．

解答：解：（1）解法一：
连接OB，OC，过O作OE⊥BC于点E．
∵OE⊥BC，BC=2

3

，
∴BE=EC=

3

．（1分）
在Rt△OBE中，OB=2，∵sin∠BOE=

BE

OB

=

3

2

，
∴∠BOE=60°，∴∠BOC=120°，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=60°．（4分）
解法二：
连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．
∵BD是直径，∴BD=4，∠DCB=90°．
在Rt△DBC中，sin∠BDC=

BC

BD

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠BDC=60°，∴∠BAC=∠BDC=60°．（4分）

（2）解：因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处．（5分）
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点．连接AB，AC，则AB=AC，∠BAE=

1

2

∠BAC=30°．
在Rt△ABE中，∵BE=

3

，∠BAE=30°，
∴AE=

BE

tan30°

=

3

3 3

=3，
∴S_△ABC=

1

2

×2

3

×3=3

3

．
答：△ABC面积的最大值是3

3

．（7分）

点评：本题考查的是垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，能根据题意作出辅助线是解答此题的关键．