Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP =_____ ，点Q到AC的距离是_____ ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

Answer 1

解：（1）1，； （2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t， ∴．由△AQF∽△ABC， ， 得．∴． ∴， 即． （3）能． ①当DE∥QB时，如图4． ∵DE⊥PQ， ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC， 得， 即． 解得． ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC， 四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 ， 即． 解得． （4）或． 【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． ， ． 由，得， 解得． ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．  ，】