Question

（1）已知x+

1

x

=3，求

x2

x4+3x2+1

的值；
（2）已知关于x的一元二次方程x²-x+1-a=0有两个不相等的正根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）代数式

x4+3x2+1

x2

=x²+3+

1

x2

=（x+

1

x

）²+1，再把已知代入即可；
（2）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式△＞0，并且两根的和大于0，且两根的积大于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于a的不等式，即可求得a的范围．

解答：解：（1）∵x+

1

x

=3，
∴

x4+3x2+1

x2

=x²+3+

1

x2

=（x+

1

x

）²+1，
=3²+1=10，
∴

x2

x4+3x2+1

=

1

10

；
（2）设方程的两个不相等的正根为x₁、x₂，则：
△=（-1）²-4（1-a）＞0 ①，
x₁+x₂=1＞0，x₁x₂=1-a＞0 ②，
解①，得：a＞

3

4

，
解②，得：a＜1，
所以a的取值范围是

3

4

＜a＜1．

点评：本题考查的是利用“整体代入法”求代数式的值及一元二次方程根与系数，锻炼了学生整体的思想意识．