Question

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点Q在y轴上，点P在抛物线上，且以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点P有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：要分类讨论AB是边还是对角线两种情况，AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可，进而求出P点坐标，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，进而求出P点坐标．
解答：解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴A（-1，0）、B（3，0）；
①当AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P₁，P₂．
而当x=4时，y=；
当x=-4时，y=7，
此时P₁（4，）、P₂（-4，7）．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P₃．
而且当x=2时y=-1，此时P₃（2，-1），
综上，满足条件的P为P₁（4，）、P₂（-4，7）、P₃（2，-1）．
故选C．
点评：此题主要考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全．