Question

已知a、b是正数，且a+b=2，则

a2+1

+

b2+4

的最小值=

 

．

Answer 1

分析：由a+b=2，用a表示出b，将表示出的b代入所求的式子中，得到关于a的表达式，作出A关于直线l的对称点C，连接BC交直线l与点P，此时利用两点之间线段最短可得AP+PB=BC为最短，从而利用勾股定理，将表达式转化为直角三角形两斜边AP、BP的和，即BC的长，即为所求式子的最小值，故在直角三角形BCF中，由BF和CF的长，利用勾股定理求出BC即可得到结果．

解答：解：∵a+b=2，
∴b=2-a，代入

a2+1

+

b2+4

，
得：

a2+1

+

(2-a)2+22

，
构造如下图形，如图，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
作出A关于直线l的对称点C，连接BC与直线l交于点P，此时AP+PB最短．
延长BD，过C作CF垂直于BC的延长线，垂足为F，
设PD=a，可得ED=2-a，
在Rt△AEP中，根据勾股定理得：
AP=

(2-a)2+22

，BP=

a2+1

，
则

a2+1

+

(2-a)2+22

=AP+BP，
当B、P、C三点共线时，因为直线l为线段AC的垂直平分线，
则AP+BP=CP+PB=BC，此时BC的长即为所求式子的最小值，
此时在Rt△CBF中，DF=EC=AE=2，故BF=BD+DF=1+2=3，CF=ED=2，
由勾股定理可求得BC=

22+(2+1)2

=

13

，
则

a2+1

+

b2+4

的最小值为

13

．

点评：此题主要考查线段公理的应用，以及构造直角三角形，用勾股定理求解的策略，勾股定理的最大贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和运用都体现了数形结合的思想，运用勾股定理往往可以顺利解决某些具有平方特征的代数问题．本题的思路为：构造相应的图形，利用对称知识将所求的表达式转化为线段BC的长度，进而利用勾股定理来解决问题，充分体现了转化思想及数形结合思想．