Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）求证：△PCF是等腰三角形；

（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．

Answer 1

解：（1）∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PD． （1分）

又∵AD⊥PD，

∴OC∥AD．

∴∠ACO=∠DAC．

又∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB．（3分）

 

（2）∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°．

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠PCB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠PCB．

又∵∠DAC=∠CAO，

∴∠CAO=∠PCB．…（4分）

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，

∴∠PFC=∠PCF，…（5分）

∴PC=PF，

∴△PCF是等腰三角形．…（6分）

 

（3）连接AE．

∵CE平分∠ACB，

∴=，

∴．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°．

在Rt△ABE中，．        （7分）

∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，

∴△PAC∽△PCB，（8分）

∴．

又∵tan∠ABC=，

∴，

∴．

设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，

∵PC²+OC²=OP²，

∴（4k）²+7²=（3k+7）²，

∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．

∴PC=4k=4×6=24．             （10分）