Question

已知关于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．
解：

Answer 1

分析：（1）先计算判别式得值得到△=（3k+1）²-4k×3=（3k-1）²，然后根据非负数的性质得到△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先理由求根公式得到kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x₁=

1

k

，x₂=3，则二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为

1

k

和3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．

解答：（1）证明：△=（3k+1）²-4k×3
=（3k-1）²，
∵（3k-1）²，≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）
x=

-(3k+1)±(3k-1)

2k

，
x₁=

1

k

，x₂=3，
所以二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为

1

k

和3，
根据题意得

1

k

为整数，
所以整数k为±1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了抛物线与x轴的交点．