Question

在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F在BC，CD边上，BE=4，DF=5，P是线段EF上一动点（不运动至点E，F），过点P作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，设PN=x，矩形PMAN面积为S
（1）求S关于x函数解析式和自变量的取值范围；
（2）当PM，PN长是关于t的方程3t²-kt+98=0两实根时，求EP：PF的值和k的值．

Answer 1

分析：（1）首先延长NP交CD于Q，得出△FQP∽△FCE，进而得出FQ的长，即可得出S关于x函数解析式，利用BE以及AD的长即可得出x的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得出PM•PN=

98

3

=S，进而得出PM+PN=

k

3

，求出k的值，即可得出答案．

解答：解：（1）延长NP交CD于Q，
由题意可得出：QP∥EC，
∴△FQP∽△FCE，
∴

FQ

FC

=

QP

EC

，
∵PQ=6-x，EC=6-4=2，FC=8-5=3，
∴FQ=9-

3

2

x，
∴PM=DQ=5+9-

3

2

x=14-

3

2

x，
S关于x函数解析式为：
S=x（14-

3

2

x）=-

3

2

x2+14x(4＜x＜6)；

（2）由PM•PN=

98

3

=S，
则

98

3

=-

3

2

x2+14x，
即9x²-84x+196=0，
解得：x1=x2=

14

3

，
∴PN=x=

14

3

，PM=7，
而PM+PN=

k

3

，
∴k=35，
由PM=7，知FQ=2，CQ=1，
∴

PE

PF

=

CQ

FQ

=

1

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识，根据系数的关系得出k的值是解题关键．