Question

如图1，已知直线y＝kx与抛物线y＝－x²＋交于点A(3，6)．

(1)求直线y＝kx的解析式和线段OA的长度；

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把点A(3，6)代入y＝kx得； 　　∵6＝3k， 　　∴k＝2， 　　∴y＝2x．(2012金华市) 　　OA＝．(3分) 　　(2)是一个定值，理由如下： 　　如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H． 　　①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合， 　　此时； 　　②当QH与QM不重合时， 　　∵QN⊥QM，QG⊥QH 　　不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上， 　　∴∠MQH＝∠GQN， 　　又∵∠QHM＝∠QGN＝90° 　　∴△QHM∽△QGN(5分)， 　　∴， 　　当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．(7分)①① 　　(3)如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R 　　∵∠AOD＝∠BAE， 　　∴AF＝OF， 　　∴OC＝AC＝OA＝ 　　∵∠ARO＝∠FCO＝90°，∠AOR＝∠FOC， 　　∴△AOR∽△FOC， 　　∴， 　　∴OF＝， 　　∴点F(，0)， 　　设点B(x，)， 　　过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF， 　　∴， 　　即， 　　解得x1＝6，x2＝3(舍去)， 　　∴点B(6，2)， 　　∴BK＝6－3＝3，AK＝6－2＝4， 　　∴AB＝5(8分)； 　　(求AB也可采用下面的方法) 　　设直线AF为y＝kx＋b(k≠0)把点A(3，6)，点F(，0)代入得 　　k＝，b＝10， 　　∴， 　　∴， 　　∴(舍去)，， 　　∴B(6，2)， 　　∴AB＝5(8分)(其它方法求出AB的长酌情给分) 　　在△ABE与△OED中 　　∵∠BAE＝∠BED， 　　∴∠ABE＋∠AEB＝∠DEO＋∠AEB， 　　∴∠ABE＝∠DEO， 　　∵∠BAE＝∠EOD， 　　∴△ABE∽△OED．(9分) 　　设OE＝x，则AE＝－x()， 　　由△ABE∽△OED得， 　　∴ 　　∴()…(10分) 　　∴顶点为(，) 　　如答图3，当时，OE＝x＝，此时E点有1个； 　　当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个． 　　∴当时，E点只有1个(11分) 　　当时，E点有2个(12分)．

提示：

二次函数综合题．