Question

已知点P是抛物线y=

1

4

x2+1上的任意一点，设点P到x轴的距离为d₁，点P与点F（0，2）的距离为d₂，过点P的直线交抛物线于P、Q两点，点M为线段PQ的中点．
（1）猜想d₁、d₂的关系并证明；
（2）如果线段PQ的长度为5，求点M到x轴的最短距离．

Answer 1

分析：（1）本题可设出P点坐标，然后根据抛物线的解析式表示出d₁，根据两点间的距离公式表示出d₂，然后进行证明即可．
（2）本题要利用（1）的结论进行求解．过P、Q作x轴的垂线设垂足为P₁、Q₁．根据（1）的结论可以得出PP₁=PF，QF=QQ₁，如果过M作x轴的垂线MC，那么MC就是梯形PP₁Q₁Q的中位线，即MC=

1

2

（PP₁+QQ₁），如果MC最短，那么PP₁+QQ₁就需最短，而PP₁=PF，QQ₁=QF，因此PF+QF就必须最短，根据两点间线段最短可知当P、F、Q共线时，MC就最短，因此MC=

5

2

．

解答：解：
（1）猜想d₁=d₂．
证明如下：
设P（x₁，y₁）是抛物线上任一点
∴d₁=y₁=

x12

4

+1
而d₂=PF=

x12+(y1-2)2

=

4y1-4+(y1-2)2

=y₁
∴d₁=d₂．

（2）过M作MC垂直x轴，垂足为C，易得MC=

1

2

（PP₁+QQ₁）
由（1）证PP₁=PF，QQ₁=QF
∴MC=

1

2

（PP₁+QQ₁），
即要求PF+QF最小值
而PF+QF≥PQ，
故当P、F、Q三点共线时，PF+QF最小，且等于PQ．
所以MC最小值为

5

2

，
即M到x轴最短距离为

5

2

．

点评：本题主要考查了二次函数的应用、函数图象交点、中位线定理等知识点．