Question

（2013•凤阳县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2．E、F分别是射线AC、CB上的动点，且AE=BF，EF与AB交于点G，EH⊥AB于点H，设AE=x，GH=y，下面能够反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：判断出△ABC是等腰直角三角形，然后再判断出△AHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AB、AH的长，过点B作BD∥AC交EF于点D，然后利用平行线分线段成比例定理分别列式

BD

AE

=

BG

AG

，

BF

FC

=

BD

EC

，再表示出BD，然后求出BG的长度，最后根据GH=AB-AH-BG，代入数据整理即可得到y与x的函数关系式，再根据函数相应的图象解答．

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，∠A=45°，
∵EH⊥AB于点H，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴AH=

2

2

AE=

2

2

x，
过点B作BD∥AC交EF于点D，
则

BD

AE

=

BG

AG

，

BF

FC

=

BD

EC

，
∴BD=

BG

AG

•AE=

BG

2 2 -BG

•x，BD=

BF

FC

•EC=

x

x+2

•（2-x），
∴

BG

2 2 -BG

•x=

x

x+2

•（2-x），
整理得，BG（x+2）=（2

2

-BG）（2-x），
解得BG=

2

-

2

2

x，
根据图形，GH=AB-AH-BG，
=2

2

-

2

2

x-（

2

-

2

2

x），
=2

2

-

2

2

x-

2

+

2

2

x，
=

2

，
即y=

2

，是一条平行于x轴的直线．
故选C，

点评：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了等腰直角三角的判定与性质，平行线分线段成比例定理，作辅助线利用平行线分线段成比例定理两次表示出BD是解题的关键．