Question

已知：三点A(a,1)、B(3,1)、C(6,0)，点A在正比例函数y＝x的图象上.

(1)求a的值；

(2)点P为x轴上一动点.

①当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；

②当∠APB＝20°时，求∠OAP＋∠PBC的度数.

 

Answer 1

 (1)∵点A(a,1)在正比例函数y＝x的图象上，

∴a＝2.

(2)①如图，作点A关于x轴对称点A′，可得A′(2，－1).

连结A′B交x轴关于点P.

设直线A′B的解析式为y＝kx＋b(k≠0)

，可得此直线的解析式为y＝2x－5.

当y＝0时，x＝2.5.

当AP＋BP取得最小值时，可得△OAP与△CBP周长的和取得最小值，此时点P的坐标为(2.5,0).

②如图，设AA′交x轴于点K.连结OA′、OB、AB，作BM⊥OC于M.

∵A′K＝AK＝AB＝1，∠OKA′＝∠A′AB＝90°，OK＝AA′＝2，

∴△OKA′≌△A′AB.(4分)

∴OA′＝A′B，∠OA′K＝∠ABA′.

∵在Rt△AA′B中，

∠ABA′＋∠AA′B ＝90°，

∴∠OA′B＝90°.

∴△OA′B为等腰直角三角形.

∴∠BOA′＝∠BOC＋∠A′OC＝45°.

∵BM⊥OC，OM＝MC＝3，∴OB＝BC.    ∴∠BOC＝∠BCO.

∵∠AOC＝∠A′OC，     ∴∠AOC＋∠BCO＝45°.

如图，当∠APB＝20°时，

∠OAP＋∠PBC

＝360°－(∠AOC＋∠BCO)－(∠APO＋∠BPC)

＝360°－45°－(180°－20°)＝155°.