Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=2

2

，BC=5，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．
（1）若CE=AB，求CF的长度．
（2）若△CEF是直角三角形，求CF的长度．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠BAE=∠CEF，再利用“角边角”证明△ABE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BE，CE=AB，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）根据等腰梯形同一底上的两底角相等求出∠C=∠B=45°，再分①∠EFC=90°时，∠CEF=45°，然后根据等腰直角三角形的性质求出BE，再求出CE，然后求出CF即可；②∠CEF=90°时，求出∠AEB=45°，然后求出∠BAE=90°，再根据等腰直角三角形求出BE，再求出CE，然后求出CF即可．

解答：解：（1）在△ABE中，∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠B=45°，∠AEF=45°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△ECF中，

∠BAE=∠CEF CE=AB ∠B=∠C=45°

，
∴△ABE≌△ECF（ASA），
∴CF=BE，CE=AB，
∵AB=2

2

，BC=5，
∴CF=BE=BC-AB=5-2

2

；


（2）∵AD∥BC，∠B=45°，
∴∠C=∠B=45°，
①如图1，∠EFC=90°时，∠CEF=90°-∠C=90°-45°=45°，
∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=180°-45°-45°=90°，
∵AB=2

2

，
∴BE=

2

2

×2

2

=2，
∵BC=5，
∴CE=BC-BE=5-2=3，
在Rt△CEF中，CF=

2

2

CE=

3 2

2

；

②如图2，∠CEF=90°时，∠AEB=180°-45°-90°=45°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠BAE=180°-45°-45°=90°，
∵AB=2

2

，
∴BE=

2

AB=

2

×2

2

=4，
∵BC=5，
∴CE=BC-BE=5-4=1，
在Rt△CEF中，CF=

2

CE=

2

，
综上所述，CF的长度为

3 2

2

或

2

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，主要利用了等腰梯形同一底上的两底角相等的性质，（2）要分情况讨论求解．