Question

（2013•滨湖区二模）我们把三角形内部的一个点到这个三角形三边所在直线距离的最小值叫做这个点到这个三角形的距离．如图1，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，如果PE≥PF≥PD，则称PD的长度为点P到△ABC的距离．
在图2、图3中，已知A（6，0），B（0，8）．
（1）若图2中点P的坐标为（2，4），求点P到△AOB的距离；
（2）若点R是图3中△AOB内一点，且点R到△AOB的距离为1，请在图3中画出满足条件的点R所构成的封闭图形，并求出这个图形的周长．

Answer 1

分析：（1）求出AB，过点P分别作PC⊥OA、PD⊥OB、PE⊥AB，垂足分别为C、D、E，根据三角形面积公式即可求出PE，即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，根据三角形的中位线求出周长即可．

解答：解：（1）如图2，

∵A（6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，AB=10，
过点P分别作PC⊥OA、PD⊥OB、PE⊥AB，垂足分别为C、D、E，如图2，
∵P（2，4），
∴PD=2，PC=4，
∵S_△POB+S_△PAB+S_△POA=S_△ABO，
∴

1

2

×8×2+

1

2

×6×4+

1

2

×10×PE=

1

2

×6×8，
∴PE=0.8，
∵4＞2＞0.8，
∴P到△AOB的距离为0.8；

（2）如图3，

设点I为△AOB的内心，连接IA，IB，IO，分别取IA，IB，IO 的中点E，F，G，连接EF，FG，GE，则△EFG即为满足条件的点R所构成的封闭图形，如图3，
由画图可知，△EFG∽△ABO，由上题及已知条件可知，△EFG与△ABO的相似比为

1

2

，
∵△ABO的周长为24，
∴△EFG的周长为12．

点评：本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，三角形的中位线，三角形的内切圆与内心，坐标与图形性质的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．