题目内容

两个正整数的和与积的和恰好为2005，并且其中一个是完全平方数．那么这两个数中较大数与较小数的差为
1001或101
1001或101
．
分析：可设这两个正整数为a、b，则a+b+ab=2005，变形为（a+1）（b+1）=2006=2×17×59，再根据两个正整数其中一个是完全平方数，分情况讨论求得a、b的值，从而求得结果．
解答：解：设这两个正整数为a、b，则
a+b+ab=2005
即ab+a+b+1=2006
（a+1）（b+1）=2006=2×17×59
因为其中一个是完全平方数
有a+1=2、a+1=17成立
当a+1=2时，a=1，b=1003-1=1002，
b-a=1001；
当a+1=17时，a=16，b=118-1=117，
b-a=101．
故答案为：1001或101．
点评：本题考查了完全平方数和代数式求值，由题意得出代数式，并转化成两个正整数加1的积的形式，再由完全平方数的特征确定两个正整数的值是解题关键．
练习册系列答案
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25、已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数．
解：不妨设这两个正整数为a、b，且a≤b．
由题意，得ab=a+b，（*）
则ab=a+b≤b+b=2b，所以a≤2，
因为a为正整数，所以a=1或2，
①当a=1时，代入等式（*），得1•b=1+b，b不存在；
②当a=2时，代入等式（*），得2•b=2+b，b=2．
所以这两个正整数为2和2．
仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等试说明你的理由．
已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数．
解：设这两个正整数为a、b，且a≤b．
由题意，得ab=a+b，…（*）
则ab=a+b≤b+b=2b，即ab≤2b，所以a≤2．
因为a为正整数，所以a=1或2．
①当a=1时，代入等式（*），得1•b=1+b，b不存在；
②当a=2时，代入等式（*），得2•b=2+b，b=2．
所以这两个正整数为2和2．
仿照以上阅读材料的解法解答下列问题：
已知：三个正整数的和与积相等，求这三个正整数．
已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数．
设这两个正整数为a、b，且a≤b．
由题意，得ab=a+b，…（*）
则ab=a+b≤b+b=2b，即ab≤2b，所以a≤2．
因为a为正整数，所以a=1或2．
①当a=1时，代入等式（*），得1-b=1+b，b不存在；
②当a=2时，代入等式（*），得2-b=2+b，b=2．
所以这两个正整数为2和2．
仿照以上阅读材料的解法解答下列问题：
已知：三个正整数的和与积相等，求这三个正整数．
已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数．
不妨设这两个正整数为a、b，且a≤b．
由题意，得ab=a+b，（*）
则ab=a+b≤b+b=2b，所以a≤2，
因为a为正整数，所以a=1或2，
①当a=1时，代入等式（*），得1•b=1+b，b不存在；
②当a=2时，代入等式（*），得2•b=2+b，b=2．
所以这两个正整数为2和2．
仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等试说明你的理由．

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