Question

如图，在平行四边形ABCD中，P₁，P₂，…，P_n是BD的n等分点，连接AP₂并延长交BC于点E，连接AP_n-2并延长交CD于点F．
（1）求证：EF∥BD；
（2）设平行四边形ABCD的面积是S，若S_△AEF=

3

8

S，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根据对角线互相平分可以证明四边形AP₂CP_（n-2）是平行四边形，可得AE∥CP_（n-2），根据平行线分线段成比例可得BE÷BC=DF÷CD，从而证明EF∥BD．
（2）根据同底不同高的三角形的面积相互间的关系可得S_△ADF=1÷（n-2）•S，S_△ABE=1÷（n-2）•S，即：S_△CEF=

1

2

[（n-4）÷（n-2）]²•S，可得关于n的方程，解即可求得n的值．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，P₁、P₂…P_n-1是BD的n等分点
所以：DP_（n-2）÷DP₂=2÷（n-2）=BP₂÷B_（n-2）
连接CP₂、CP_（n-2），根据对角线互相平分可以证明四边形AP₂CP_（n-2）是平行四边形
故：AE∥CP_（n-2），则BE÷BC=BP₂÷BP（_n-2）=2÷（n-2）
同理：DF÷CD=DP_（n-2）÷DP₂=2÷（n-2）所以：CF÷CD=（n-4）÷（n-2）
故：BE÷BC=DF÷CD
故：EF∥BD．

（2）解：设平行四边形ABCD的面积为S_△AEF=

3

8

S，则其余四边形ABCD部分的面积为

5

8

S
又：S_△ADF÷（

1

2

S）=DF÷DC=2÷（n-2）即：S_△ADF=1÷（n-2）•S
同理：S_△ABE=1÷（n-2）•S
又：△CEF∽△CBD，故S_△CEF：S_△CBD=（CF÷CD）²
即：S_△CEF÷（

1

2

S）=[（n-4）÷（n-2）]²，即：S_△CEF=

1

2

[（n-4）÷（n-2）]²•S
故：1÷（n-2）•S+1÷（n-2）•S+

1

2

[（n-4）÷（n-2）]²•S=

5

8

S
故：1÷（n-2）+1÷（n-2）+

1

2

[（n-4）÷（n-2）]²=

5

8

解得：n=6．

点评：本题考查了平行线分线段成比例，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．同时考查了三角形的面积和解方程，综合性较强，有一定的难度．