Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．

【小题1】求CD的长及∠1的度数；
【小题2】设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？
【小题3】当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

p;【答案】
【小题1】CD=   ∠1=30°
【小题2】Y
当时，y的值最大，y的最大值为
【小题3】①若AE=BE,解得t=9
②若AB=AE,解得t=9-2
③若BA=BE，解得t=12-解析:

（1）  过点A作AH⊥BC于点H                （1分）
∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°
∴AH=AB·=
∵四边形ABCD为直角梯形
∴四边形AHCD为矩形
∴CD=AH=                         （2分）
∵ 
∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°                        （4分）
（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE  
∴ GE="DE" =x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
因为△CEG是直角三角形
∴∠EGC="30°"
∴在Rt△CEG中，EC=EG=x
由DE+EC=CD 得 
∴x=                             （5分）
当时


∵＞0，对称轴为y轴
∴当，y随x的增大而增大
∴当x=时，=            （6分）
当＜x≤时，设FG，EG分别交BC于点M、N
∵DE=x
∴EC=，NE=2
∴NG=GE－NE==
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°
∴MG==


               （7分）
∵，对称轴为直线
∴当＜x≤时，y有最大值
∴当时，=               （8分）
综合两种情形：由于＜ 
∴当时，y的值最大，y的最大值为                （9分）
(3)由题意可知:AB=6,分三种情况：
①若AE=BE,解得t=9
②若AB=AE,解得t=9-2
③若BA=BE，解得t=12-                                              (12分)