Question

已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB，垂足为M，AB=4，CD=2

3

，点E在AB的延长线上，且tanE=

3

3

．求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：连接OD．根据垂径定理，得DM=

1

2

CD=

3

，在直角三角形ODM和直角三角形DME中，利用锐角三角函数分别求得∠DOM和∠E的度数，从而求得∠ODE的度数，即可证明DE是圆的切线．

解答：证明：连接OD．
∵弦CD⊥直径AB，AB=4，CD=2

3

，
∴MD=

1

2

CD=

3

，OD=

1

2

AB=2．
在Rt△OMD中，
∵sin∠DOM=

MD

OD

=

3

2

，
∴∠DOM=60°．
在Rt△DME中，
∵tanE=

3

3

，
∴∠E=30°．
∴∠ODE=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．

点评：此题综合运用了垂径定理、锐角三角函数和切线的判定定理．