Question

如图，已知正方形ABCD，E为对角线BD延长线上一动点，F为BC延长线上一点，AE⊥EF，BD=nDE，CD的延长线交AE于点K．

（1）如图1，若n=2时，求证：BC=CF．
（2）如图2，在（1）的条件下，求证：

CF

KF

=

3

5

；
（3）若n=

3

+1

时，能使∠AFB=30°．

Answer 1

分析：（1）连接AC，交BD于点O，先由正方形的性质得出AC⊥BD，OA=OB=OD，根据正切函数的定义求出tan∠AEO=

OA

OE

=

1

2

，再证明A、B、F、E四点共圆，根据圆周角定理得到∠AFB=∠AEB，然后由tan∠AFB=tan∠AEB=

1

2

即可得出BC=CF；
（2）先由KD∥AB，得出△EKD∽△EAB，根据相似三角形对应边成比例得到

KD

AB

=

ED

EB

=

1

3

，再设KD=a，则AB=BC=CF=3a，CK=4a，在Rt△KCF中，运用勾股定理求出KF=5a，即可证明

CF

KF

=

3

5

；
（3）先由（1）知∠AFB=∠AEB=30°，再根据正切函数的定义得出tan∠AEB=

OA

OE

=

1 2 BD

1 2 BD+DE

=

3

3

，计算即可求出n=

3

+1．

解答：（1）解：连接AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OD．
∵BD=2DE，
∴OA=OD=DE，
∴tan∠AEO=

OA

OE

=

1

2

，
∵∠AEF+∠ABC=90°+90°=180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB，
∴tan∠AFB=tan∠AEB=

1

2

，
∴BF=2AB=2BC，
∴BC=CF；

（2）证明：∵KD∥AB，BD=2DE，
∴△EKD∽△EAB，
∴

KD

AB

=

ED

EB

=

1

3

．
设KD=a，则AB=3a，CD=BC=CF=3a，CK=4a．
在Rt△KCF中，∵∠KCF=90°，
∴KF=

CK2+CF2

=5a，
∴

CF

KF

=

3a

5a

=

3

5

；

（3）解：若n=

3

+1时，能使∠AFB=30°．理由如下：
由（1）知∠AFB=∠AEB=30°．
∵OA=OD=

1

2

BD，BD=nDE，
∴tan∠AEB=

OA

OE

=

1 2 BD

1 2 BD+DE

=

3

3

，
∴

3- 3

2

BD=

3

DE，
∴n=

BD

DE

=

2 3

3- 3

=

3

+1．
故答案为

3

+1．

点评：本题考查了正方形的性质，锐角三角函数的定义，四点共圆的条件，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次根式的计算，综合性较强，对学生的能力要求较高．准确作出辅助线是解题的关键．