Question

如图，已知M、E分别是AB、CD中点，MN⊥CD，EF⊥AB，若MN=

1

2

AB，EF=

1

2

CD
求证：AD∥BC．

Answer 1

分析：首先连接AE、DM、ME，由M、E分别是AB、CD中点，即可求得△DME与△AME的面积，又由MN=

1

2

AB，EF=

1

2

CD，即可求得S_△DME=S_△AME，根据△DME、△AME均以ME为底边时高相等，即D、A到ME的距离相等，即可求得AD∥EM，同理求得BC∥ME，继而求得AD∥BC．

解答：证明：如图，连接AE、DM、ME，
∵E、M分别为DC、AB中点，MN⊥CD，EF⊥AB，
∴DE=

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2

DC，AM=

1

2

AB，
∴S_△DME=

1

2

DE•MN=

1

4

DC•MN，S_△AME=

1

2

AM•EF=

1

4

AB•EF，
又∵MN=

1

2

AB，EF=

1

2

CD，
∴S_△DME=S_△AME，
∴△DME、△AME均以ME为底边时高相等，即D、A到ME的距离相等，
∴AD∥EM，
同理可证，BC∥ME，
∴AD∥BC．

点评：此题考查了面积与等级变换的知识．此题难度较大，解题的关键是注意同底等高的三角形面积相等的知识的应用，注意数形结合思想的应用．