Question

【题目】如图，点、、、、在上，于点，，，为延长线上一点，且，．

求证：是的切线；

若点是弧的中点，且交于点，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连结AC，先求得AC是直径，从而求得∠D=∠ACB，根据已知得出AB=6，然后根据勾股定理求得AC，根据勾股定理逆定理证得∠CAH=90°即CA⊥AH，即可证得结论；
（2）由点D是弧CE的中点，得出∠EAD=∠DAC，进而求得∠EAH=∠HCA，然后求得∠AFH=∠HAF，根据等角对等边得出HF=HA=，最后根据射影定理得出AH2=EHCH，即可求得EH的值，进而求得EF的值．

证明：连结，

∵于点，

∴是的直径，

∵，

∴，

在中，，

∴，

由勾股定理，

在中，由勾股定理逆定理：，

∴即，

∴是的切线．

解：∵点是弧的中点，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，

∴，

∵，，

∴可得，

∴．