Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B，CD⊥AB交⊙O₁于C，交⊙O₂于D，连接AC、AD．
（1）求证：AC、AD分别是⊙O₁、⊙O₂的直径．
（2）连接O₁O₂、O₂B，当AC=AD时，求证：四边形O₁CBO₂为平行四边形．
（3）当AC=AD时，过B的直线交

AC

于E，交

BD

于F（图（2）），判定∠AEB与∠AFB的大小关系并证明．

Answer 1

分析：（1）由CD⊥AB易得AC是⊙O₁的直径（圆内直角所对的弦是直径）；
（2）根据中位线定理求得O₁O₂∥CD且O₁O₂=

1

2

CD=CB，所以四边形O₁CBO₂是平行四边形；
（3）根据已知条件“AC=AD”推知⊙O₁与⊙O₂是等圆，然后根据圆周角定理证得∠AEB与∠AFB相等．

解答：（1）证明：如图（1），∵CD⊥AB，
∴∠ABC=90°．
∴AC是⊙O₁的直径．
同理，可知AD是⊙O₂的直径．

（2）证明：如图（1），连接O₂B．
由（1）知，AD是⊙O₂的直径．
∵AC=AD，
∵CD⊥AB，
∴CB=BD．
∵O₁、O₂分别是AC、AD的中点，
∴O₁O₂∥CD且O₁O₂=

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2

CD=CB．即O₁O₂∥CB且O₁O₂=CB．
∴四边形O₁CBO₂是平行四边形．

（3）∠AEB=∠AFB．理由如下：
∵AC=AD，
∴⊙O₁与⊙O₂是等圆．
∴∠AEB=∠AFB（在等圆中，等弧所对的圆周角相等），即∠AEB与∠AFB相等．

点评：本题考查了圆的综合题．在证明（3）时，需要熟记“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”这一圆周角定理．