题目内容

如图，直线y=-2x+b与y轴交于点A，与x轴交于点D，与双曲线 $数学公式$ 在第一象限交于B、C两点，且AB•BD=2，则k=________．

$\text{[math]}$
分析：过B分别作x轴和y轴的垂线，E，F分别为垂足，先得到A（0，b），D（ $\text{[math]}$ b，0），即OA=b，OD= $\text{[math]}$ b；由BF∥OD，可得AF：OA=BF：OD，即有AF：BF=2，若设B（m，n），m＞0，n＞0，则BF=m，AF=2m，再由勾股定理分别计算AB²=AF²+BF²=5m²，BD²=BE²+DE²=n²+（ $\text{[math]}$ b-m）²=n²+ $\text{[math]}$ ，通过B点在直线y=-2x+b上，得到BD²=n²+ $\text{[math]}$ n²= $\text{[math]}$ n²，根据AB•BD=2，
得到m•n= $\text{[math]}$ ，然后利用点B在双曲线 $\text{[math]}$ 的图象上，即可求出k．
解答：

解：过B分别作x轴和y轴的垂线，E，F分别为垂足，如图，
对于y=-2x+b，令x=0，y=b；令y=0，x= $\text{[math]}$ b，
∴A（0，b），D（ $\text{[math]}$ b，0），即OA=b，OD= $\text{[math]}$ b，
∵BF∥OD，
∴AF：OA=BF：OD，
∴AF：BF=2，
设B（m，n），m＞0，n＞0，则BF=m，AF=2m，
∴AB²=AF²+BF²=5m²，
BD²=BE²+DE²=n²+（ $\text{[math]}$ b-m）²=n²+ $\text{[math]}$ ，
而B点在直线y=-2x+b上，
∴n=-2m+b，即2m-b=n，
∴BD²=n²+ $\text{[math]}$ n²= $\text{[math]}$ n²，
而AB•BD=2，
∴5m²• $\text{[math]}$ n²=4，即m•n= $\text{[math]}$ ，
∵点B在双曲线 $\text{[math]}$ 的图象上，
∴k=m•n= $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了点在图象上，点的坐标满足图象的解析式．也考查了勾股定理以及代数式的变形．