题目内容

（2013•义乌市）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（
2
，0），E（2
2
，0），F（
3
2
2
，-
2
2
）．
（1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45°得到△A1B1C1．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系；
（2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2
2
x2+bx+c上，请你求出符合条件的抛物线解析式；
（3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．
分析：（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解；
（2）首先明确△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解；
（3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解．
解答：解：（1）A1（2-
2
2
，1+
2
2
），B1（2+
2
2
，1+
2
2
）．
A1C和DF的位置关系是平行．

（2）∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，
∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：
2
2
×(
2
)2+
2
b+c=0
2
2
×(2
2
)2+2
2
b+c=0
，
解得
b=-12
c=8
2

∴y=2
2
x2-12x+8
2
；
②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：
2
2
×(
2
)2+
2
b+c=0
2
2
×(
3
2
2
)2+
3
2
2
b+c=-
2
2
，
解得
b=-11
c=7
2

∴y=2
2
x2-11x+7
2
；
③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：
2
2
×(2
2
)2+2
2
b+c=0
2
2
×(
3
2
2
)2+
3
2
2
b+c=-
2
2
，
解得
b=-13
c=10
2

∴y=2
2
x2-13x+10
2
．

（3）在旋转过程中，可能有以下情形：

①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示：
易求得点P坐标为（0，
1-
2
2
）；
②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示：
设点B′，C′的横坐标分别为x1，x2．
易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b，
联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即x2-x-b=0，
∴x1+x2=1，x1x2=-b．
∵B′C′=1，∴根据题意易得：|x1-x2|=
2
2
，
∴（x1-x2）2=
1
2
，即（x1+x2）2-4x1x2=
1
2

∴1+4b=
1
2
，解得b=-
1
8
．
∴x2-x+
1
8
=0，解得x=
2+
2
4
或x=
2-
2
4
．
∵点C′的横坐标较小，∴x=
2-
2
4
．
当x=
2-
2
4
时，y=x2=
3-2
2
8
，
∴P（
2-
2
4
，
3-2
2
8
）；
③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示：
设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2．
易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y=-x+b，
联立y=x2与y=-x+b得：x2=-x+b，即x2+x-b=0，
∴x1+x2=-1，x1x2=-b．
∵C′A′=1，∴根据题意易得：|x1-x2|=
2
2
，
∴（x1-x2）2=
1
2
，即（x1+x2）2-4x1x2=
1
2

∴1+4b=
1
2
，解得b=-
1
8
．
∴x2+x+
1
8
=0，解得x=
2
-2
4
或x=
-
2
-2
4
．
∵点C′的横坐标较大，∴x=
2
-2
4
．
当x=
2
-2
4
时，y=x2=
3-2
2
8
，
∴P（
2
-2
4
，
3-2
2
8
）；

④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上．
因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在；
⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示：
与③同理，可求得：P（
2
-2
4
，
3-2
2
8
）；
⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示：
与②同理，可求得：P（
2+
2
4
，
3+2
2
8
）．
综上所述，点P的坐标为：（0，
1-
2
2
），（
2-
2
4
，
3-2
2
8
），（
2
-2
4
，
3-2
2
8
），（
2+
2
4
，
3+2
2
8
）．
点评：本题考查了旋转变换与二次函数的综合题型，难度较大．第（3）问是本题难点所在，解题关键是：第一，旋转方向有两种可能，落在抛物线上的点有三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论；第二，针对每一种可能的情形，按照旋转方向与旋转角度，确定图形形状并进行计算．
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