Question

【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”. 如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为点，像这样的三角形均为“中垂三角形. 设.

（1）如图1，当时，则_________，__________；

（2）如图2，当时，则_________，__________；

归纳证明

（3）请观察（1）（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

（4）如图4，在中，分别是的中点，且. 若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1） ，；（2），；（3），证明见解析；（4）

【解析】

（1）根据三角形的中位线得出；，进而得到计算即可得出答案；

（2）连接EF，中位线的性质以及求出AP、BP、EP和FP的长度再根据勾股定理求出AE和BF的长度即可得出答案；

（3）连接EF，根据中位线的性质得出，根据勾股定理求出AE与AP和EP的关系以及BF与BP和FP的关系，即可得出答案；

（4）取的中点，连接，结合题目求出四边形是平行四边形得出AP＝FP即可得到是“中垂三角形”，根据第三问得出的结论代入，即可得出答案(连接，交于点，证明求得是的中线，进而得出是“中垂三角形”，再结合第三问得出的结论计算即可得出答案).

解：（1）∵是的中线，∴是的中位线，

∴，且，易得.

∵，

∴，∴.

由勾股定理，得，

∴.

（2）如图2，连结.

∵是的中线，

∴是的中位线，

∴，且，易得.

. ∵，

∴，

∴.

由勾股定理，得，

∴.

（3）之间的关系是.

证明如下：如图3，连结.

∵是的中线，

∴是的中位线.

∴，且，

易得.

在和中，

∵，，

∴.

∴.

∴，

即.

（4）解法1：设的交点为. 如图4，取的中点，连接.

∵分别是的中点，是的中点，

∴.

又∵，

∴.

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∴是“中垂三角形”，

∴，即，

解得.

（另：连接，交于点，易得是“中垂三角形”，解法类似于解法1，如图5）

解法2：如图6，连接，延长交的延长线于点.

在中，∵分别是的中点，

∴.

∵，

∴.

又∵四边形为平行四边形，

∴，

易得，

∴，

∴，

∴是的中线，

∴是“中垂三角形”，

∴.

∵，

∴.

∴，

解得.

∵是的中位线，

∴.