题目内容
（2004•沈阳）如图，直线l：y=
x+
与x轴、y轴分别交于点B、C，以点A（1，0）为圆心，以AB的长为半径作⊙A，分别交x轴、y轴正半轴于点D、E，直线l与⊙A交于点F，分别过点B、F作⊙A的切线交于点M．（1）直接写出点B、C的坐标；
（2）求直线MF的解析式；
（3）若点P是
上任意一点（不与B、F重合）．连接BP、FP．过点M作MN∥PF，交直线l于点N．设PB=a，MN=b，求b与a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；（4）若将（3）中的条件点P是
上任意一点，改为点P是⊙A上任意一点，其它条件不变．当点P在⊙A上的什么位置时，△BMN为直角三角形，并写出此时点N的坐标．（第（4）问直接写出结果，不要求证明或计算过程）
【答案】分析：（1）分别令x=0，y=0即可求出B、C的坐标；
（2）可作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，根据tan∠CBO求出∠CBO=30°，而圆的半径AB=2，所以HA=
AB=1，BH=
，利用垂径定理可求BF=2
，所以FG=
BF=
BC=3OG=2，所以F（2，
），又因∠MBF=60°，BM=MF，可知MB=MF=BF=2
，M（-1，2
）；再设直线MF的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（3）因为MN∥PF，所以∠NMF=∠PFM，又因∠PFM=∠PBF，所以∠PBF=∠FMN，进而可证△PBF∽△FMN，所以
，代入相关数据，即可求出a、b的关系式，且0＜a＜2
；
（4）因为当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，所以此时点N的坐为（5，2
），（
）．
解答：解：（1）B（-1，0），C（0，
）；
（2）作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，
tan∠CBO=
=
，
∴∠CBO=30°
∴HA=
AB=1，
∴BH=
，BF=2BH=2
，
∴FG=
BF=
，BC=3OG=2，
∴F（2，
），
∵∠MBF=60°，BM=MF，
∴MB=MF=BF=2
，
∴M（-1，2
），
设直线MF的解析式为y=kx+b，
∴
，
∴
，
∴y=-
x+
y；
（3）∵MN∥PF，
∴∠NMF=∠PFM，
∵∠PFM=∠PBF，
∴∠PBF=∠FMN，
∵∠MNF=∠BFP，
∴△PBF∽△FMN，
∴
，
∴
，
∴ab=12，
∴b=
，
0＜a＜2
；
（4）当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，
此时点N的坐为（5，2
），（
）．
点评：本题需仔细分析题意，利用相似三角形的性质和圆的有关知识即可解决问题．
（2）可作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，根据tan∠CBO求出∠CBO=30°，而圆的半径AB=2，所以HA=
AB=1，BH=
，利用垂径定理可求BF=2
，所以FG=
BF=
BC=3OG=2，所以F（2，
），又因∠MBF=60°，BM=MF，可知MB=MF=BF=2
，M（-1，2
）；再设直线MF的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线的解析式；（3）因为MN∥PF，所以∠NMF=∠PFM，又因∠PFM=∠PBF，所以∠PBF=∠FMN，进而可证△PBF∽△FMN，所以
，代入相关数据，即可求出a、b的关系式，且0＜a＜2
；（4）因为当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，所以此时点N的坐为（5，2
），（
）．解答：解：（1）B（-1，0），C（0，
）；（2）作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，
tan∠CBO=
=
，∴∠CBO=30°
∴HA=
AB=1，∴BH=
，BF=2BH=2
，∴FG=
BF=
，BC=3OG=2，∴F（2，
），∵∠MBF=60°，BM=MF，
∴MB=MF=BF=2
，∴M（-1，2
），设直线MF的解析式为y=kx+b，
∴
，∴
，∴y=-
x+
y；（3）∵MN∥PF，
∴∠NMF=∠PFM，
∵∠PFM=∠PBF，
∴∠PBF=∠FMN，
∵∠MNF=∠BFP，
∴△PBF∽△FMN，
∴
，∴
，∴ab=12，
∴b=
，0＜a＜2
；（4）当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，
此时点N的坐为（5，2
），（
）．点评：本题需仔细分析题意，利用相似三角形的性质和圆的有关知识即可解决问题．
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x+
与x轴、y轴分别交于点B、C，以点A（1，0）为圆心，以AB的长为半径作⊙A，分别交x轴、y轴正半轴于点D、E，直线l与⊙A交于点F，分别过点B、F作⊙A的切线交于点M．
上任意一点（不与B、F重合）．连接BP、FP．过点M作MN∥PF，交直线l于点N．设PB=a，MN=b，求b与a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；
上任意一点，改为点P是⊙A上任意一点，其它条件不变．当点P在⊙A上的什么位置时，△BMN为直角三角形，并写出此时点N的坐标．（第（4）问直接写出结果，不要求证明或计算过程）
