题目内容

如图，已知反比函数y= $数学公式$ 的图象过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，△OAB的周长为4 $数学公式$ +8．AD=4．下列结论：
①k=-1；②AC：CB=1：3；③△OBC的面积等于3； ④k=-2，其中正确的是

A.
①②③
B.
②③④
C.
①②
D.
③④

B
分析：在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，求出三角形AOB的面积，过D作DE垂直于x轴，得到E为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积，进而求出三角形BOC面积，根据两三角形高相同，得到底BC与AC之比，即可做出判断．
解答：

解：在Rt△AOB中，AD=4，AD为斜边OB的中线，
∴OB=2AD=8，
由周长为4 $\text{[math]}$ +8，得到AB+AO=4 $\text{[math]}$ ，
设AB=x，则AO=4 $\text{[math]}$ -x，
根据勾股定理得：AB²+OA²=OB²，即x²+（4 $\text{[math]}$ -x）²=8²，
整理得：x²-4 $\text{[math]}$ x+8=0，
解得：x₁=2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ，x₂=2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ，
∴AB=2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ，OA=2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△AOB= $\text{[math]}$ AB•OA= $\text{[math]}$ ×（2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）×（2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ）=4，
过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点，
∴OE= $\text{[math]}$ OA= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （假设OA=2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ，若OA=2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ，求出结果相同），
在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴k=-DE•OE=-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=-2，
∴S_△COA= $\text{[math]}$ |k|=1，S_△BCO=4-1=3，
∵△BCO与△CAO同高，且面积之比为3：1，
∴BC：AC=3：1，
则其中正确的选项有②③④．
故选B
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．