Question

如图，矩形ABCD中，AB长为6厘米，BC长为12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．P、Q两点分别从A、B两点同时出发，点P的运动时间为t秒，点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动．
（1）用含t的代数式表示PB的长．
（2）当△PBQ的面积等于9平方厘米时，求t的值．
（3）连结AC，当△PBQ与△ABC相似时，求t的值．
（4）连结BD交PQ于E，直接写出△PBQ与△PBE相似时t的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得PA=t，则可用含t的代数式表示PB的长．
（2）首先根据题意表示出PB与BQ的长，继而由△PBQ的面积等于9平方厘米，可求得t的值．
（3）分别从当△PBQ∽△ABC时与当△PBQ∽△CBA时，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（4）易得△PBQ∽△PEB，可得BE⊥BD，即可得△PEB∽△DAB，继而证得△PBQ∽△DAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答：解：（1）∵点P的运动时间为t秒，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，
∴PA=t（cm），
∴PB=AB-PA=6-t（cm）；

（2）∵BQ=2t（cm），PB=（6-t）cm，
∴S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

×（6-t）×2t=9，
解得：t₁=t₂=3；

（3）∵当△PBQ∽△ABC时，

PB

AB

=

BQ

BC

，
即

6-t

6

=

2t

12

，t=3；
当△PBQ∽△CBA时，

PB

BC

=

BQ

AB

，
即

6-t

12

=

2t

6

，t=

6

5

；
∴当△PBQ与△ABC相似时，t的值为：3或

6

5

．

（4）∵∠BPQ是公共角，∠PBE=∠PBQ，
∴△PBQ∽△PEB，
∴BE⊥BD，
∴△PEB∽△DAB，
∴△PBQ∽△DAB，
∴

PB

AD

=

BQ

AB

，
即

6-t

12

=

2t

6

，t=

6

5

．
∴△PBQ与△PBE相似时t的值为：

6

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．