Question

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．
求证：（1）；
（2）以a+b，h和c+h为边是否构成三角形？如果构成三角形，试确定该三角形的形状；如果不能构成三角形，试说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴a²+b²=c²，S_△ABC=AC•BC=ab．
∵CD⊥AB于D，
∴S_△ABC=AB•CD=ch．
∴ab=ch，
∴ab=ch，
∴，
∴．
∵a²+b²=c²，
∴，
∴，
∴．

（2）解：以a+b，h和c+h为边构成的三角形是直角三角形，
∵（a+b）²+h²=a²+2ab+b²+h²=c²+2ab+h²，（c+h）²=c²+2ch+h²
∵ab=ch，
∴（a+b）²+h²=（c+h）²
∴以a+b，h和c+h为边构成的三角形是直角三角形．
分析：（1）根据直角三角形的面积的不同表示方法，得到a，b，c，h之间的比例式，再利用等式的变形和勾股定理即可证明结论；
（2）根据勾股定理的逆定理即可进行判定．
点评：熟练运用直角三角形的勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积计算方法．