Question

【题目】如图，已知四边形中，，，且，，对角线．

求证：四边形是矩形；

如图，若动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接、，若，求的值；

如图，若点在对角线上，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动至点止．设点运动了秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）从运动开始，经过秒或秒或秒时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．

【解析】

（1）先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据∠B=90°，得出四边形ABCD是矩形；
（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出=，即=，求得t的值即可；
（3）分为三种情况讨论：当CQ=CP=4cm时，当PQ=CQ=4cm时，当QP=CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．

证明：∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，，，

∴，，

∴，

∴，

∴四边形是矩形；

如图，过作于点，与交于点，则

，，，，

∵，，

∴，且，

∴，

∴，即，

解得；

分为三种情况：

①如图所示，当时，，

∴秒；

②如图所示，当时，过作于，则

，

∴，即，

解得，

∵，，

∴，

∴，

∴秒；

③如图所示，当时，过作于，则

，，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

∴秒．

综上所述，从运动开始，经过秒或秒或秒时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．