Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析：根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO，再有条件AO=CO，可得到四边形AECF为平行四边形，再证明∠ECF=90°，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

解答：证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
∵AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=

1

2

∠ACB，
同理，∠ACF=

1

2

∠ACP，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACP）=

1

2

×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明EO=FO和∠ECF=90°．