Question

（2013•嘉定区一模）已知点A、B、C是半径长为2的半圆O上的三个点，其中点A是弧BC的中点（如图），联结AB、AC，点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE．
（1）求证：OD=OE；
（2）联结BC，当BC=2

2

时，求∠DOE的度数；
（3）若∠BAC=120°，当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积是否变化？若变化，请简述理由；若不变化，请求出四边形ADOE的面积．

Answer 1

分析：（1）先证出△AOB≌△AOC，∠CAO=∠ABO，再根据BD=AE，证出△BOD≌△AOE，即可得出OD=OE；
（2）设OA和BC交于M，得出∠AOB=∠AOC，∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，则∠DOE=

1

2

∠BOC，∠AOC=

1

2

∠BOC，再根据AB=AC，得出OA⊥BC，CM=

1

2

BC=

2

，最后根据sin∠COM=

CM

OC

=

2

2

，得出∠COM=45°，∠BOC=90°，∠DOE=

1

2

∠BOC=45°；
（3）先证出S_△AOB=S_△AOC，S_△BOD=S_△AOE，S_△AOB-S_△BOD=S_△AOC-S_△AOE，S_△AOD=S_△COE，得出S_△AOE+S_△AOD=S_△BOD+S_△COE，S_{四边形ADOE}=

1

2

S_{四边形ABOC}，即可证出当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积没有变化，再根据∠ABC=120°，得出∠OAB=∠OAC=60°，ABOC是菱形，再求出AM=1，BC=2

3

，得出S_菱形ABOC=2

3

，最后根据S_{四边形ADOE}=

1

2

S_{四边形ABOC}即可得出答案．

解答：解：（1）∵A是弧BC的中点，
∴AB=AC，
连接OB、OA、OC，
∵在△AOB和△AOC中，

AB=AC OB=OA OA=OC

，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠CAO=∠ABO，
∵AD=CE，
∴AB-AD=AC-CE，
即BD=AE，
∵在△BOD和△AOE中，

OB=OA ∠CAO=∠ABO BD=AE

，
∴△BOD≌△AOE（SAS），
∴OD=OE；

（2）设OA和BC交于M，
∵△AOB≌△AOC，
∴∠AOB=∠AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴∠BOD=∠AOE，
∴∠AOD=∠COE，
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=

1

2

∠BOC，
∠AOC=∠AOE+∠COE=

1

2

∠BOC，
∵AB=AC，
∴OA⊥BC，CM=

1

2

BC=

2

，
∴sin∠COM=

CM

OC

=

2

2

，
∴∠COM=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠DOE=

1

2

∠BOC=45°；

（3）∵△AOB≌△AOC，
∴S_△AOB=S_△AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴S_△BOD=S_△AOE，
∴S_△AOB-S_△BOD=S_△AOC-S_△AOE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_△AOE+S_△AOD=S_△BOD+S_△COE，
∴S_{四边形ADOE}=

1

2

S_{四边形ABOC}，
∴当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积没有变化，
∵∠BAC=120°，
∴∠OAB=∠OAC=60°，
∴ABOC是菱形，
∴AM=

1

2

AO=1
CM=

AC2-AM2

=

22-12

=

3

，
∴BC=2

3

，
∴S_菱形ABOC=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
∴S_{四边形ADOE}=

1

2

S_{四边形ABOC}=

3

．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是垂径定理、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，关键是综合应用有关知识，列出算式．