Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB=6，OC=5．点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线与y轴平行，直线交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线恰好过点C.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；

（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（3，3），（6，0）　　（2）（0<t<3）　（3）P（，0）或（，0）

【解析】

(1)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；

(2)作CN⊥x轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为(4，-3)，再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式，直线OA的解析式，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q、R的坐标，从而得到m关于t的函数关系式；

(3)利用待定系数法求出直线AB的解析式，直线BC的解析式，然后分类讨论：当0＜t＜3，3≤t＜4，当4≤t＜6时，分别列出方程，然后解方程求出t得到P点坐标．

(1)由题意△OAB是等腰直角三角形，

过点A作AM⊥OB于M，如图：

∵OB=6，

∴AM=OM=MB=OB=3，
∴点A的坐标为(3，3)，点B的坐标为(6，0)；

(2)作CN⊥轴于N，如图，

∵时，直线恰好过点C，
∴ON=4，
在Rt△OCN中，CN=，

∴C点坐标为(4，-3)，
设直线OC的解析式为，
把C(4，-3)代入得，解得，

∴直线OC的解析式为，

设直线OA的解析式为，
把A(3，3)代入得，解得，
∴直线OA的解析式为，
∵P(t，0)(0＜t＜3)，
∴Q(，)，R(，)，

∴QR=，

即()；

(3)设直线AB的解析式为，
把A(3，3)，B(6，0)代入得：

，解得，
∴直线AB的解析式为，
同理可得直线BC的解析式为，
当0＜t＜3时，，

若，则，

解得，

此时P点坐标为(2，0)；

当3≤t＜4时，Q(，)，R(，)，

∴，

若，则，

解得(不合题意舍去)；

当4≤t＜6时，Q(，)，R(，)，

∴，

若，则，

解得，此时P点坐标为(，0)；

综上所述，满足条件的P点坐标为(2，0)或(，0)．