Question

如图，在⊙O中，∠AOB=120°，PT与⊙O切于T点，A、B、P共线，∠APT的平分线依次交AT、BT于C、D，求证：△ACD∽△CDB．

Answer 1

证明：在△TCD中，∠TCD=∠TAP+∠CPA=∠BTP+∠CPT=∠CDT，
又∵∠ATB=∠AOB=60°，
∴△TCD为等边三角形，且∠ACD=∠BDC，
∵PT为圆O的切线，
∴==，
∴△ACD∽△CDB．
分析：易证∠TCD=∠TAP+∠CPA=∠BTP+∠CPT=∠CDT，进而判定△TCD为等边三角形，进而求证==，根据对应边比值相等可以判定△ACD∽△CPB即可解题．
点评：本题考查了等边三角形的判定和等边三角形各内角相等、各边长相等的性质，相似三角形的判定，本题中求证==是解题的关键．