Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．

Answer 1

(1)证明：连接OA．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．

∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠OAE=∠DEA=90°．∴AE⊥OA，

∴AE是⊙O的切线

(2)解：∵BD是直径，∴∠BCD=∠BAD=90°．∴∠DBC=30°，∴∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．

∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°，∴∠ABD=∠EAD=30°．

在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，∴AD=2DE．

在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．

∵DE的长是l cm，∴BD的长是4 cm．