Question

把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法…，一直到第8次挖去后这个三角形共被分割成

9841

个三角形（包括挖去的和剩下的）

Answer 1

分析：本题可依次解出n=1，2，3，…，挖去的三角形及剩下的三角形的个数，再根据规律以此类推，将挖去的三角形及剩下的三角形的个数相加，即可得出第8次挖去后这个三角形共被分割成的三角形的个数．

解答：解：∵n=1时，挖去的三角形有1个，剩下的三角形有3个，即3¹个，一共被分割成1+3¹个三角形；
n=2时，挖去的三角形有4个，即1+3¹个，剩下的三角形有9个，即3²个，一共被分割成1+3¹+3²个三角形；
n=3时，挖去的三角形有13个，即1+3¹+3²个，剩下的三角形有27个，即3³个，一共被分割成1+3¹+3²+3³个三角形；
…；
∴n=8时，挖去的三角形有1+3¹+3²+3³+…+3⁷个，剩下的三角形有3⁸个，则一共有1+3¹+3²+3³+…+3⁷+3⁸=9841个．
故答案为9841．

点评：本题是对图形变化的考查，观察出后一个图形剩下的三角形是前一个图形剩下的三角形的3倍及后一个图形挖去的三角形是前一个图形被分割成的三角形的个数，是解题的关键．