Question

用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字各一次，组成一个十位数．将这个十位数依次分成三段，每一段不少于3个数字．第一段的数分别能被1，2，3整除；第二段的数能分别被4，5，6整除；第三段的数能分别被7，8，9整除．那么第一段的数是多少？

Answer 1

分析：第一段的数分别能被1，2，3整除，所以这个数是1，2，3的最小公倍数6的倍数；同理，第二段的数分别能被4，5，6整除，所以这个数是60的倍数；第三段的数分别能被7，8，9整除，所以这个数是504的倍数． 其中60的倍数永远都有0，所以第二段的数中一定有0，则第三段的数中不能有0，即504的倍数不能只有1倍．按照每个数又只能用一次的原则，504的倍数只可能是3528或者4536或者9576，然后将第三段的数分三种情况讨论，从而求出第二段与第一段的数．

解答：解：∵第一段的数分别能被1，2，3整除，∴这个数是6的倍数；
∵第二段的数分别能被4，5，6整除，∴这个数是60的倍数；
∵第三段的数分别能被7，8，9整除，∴这个数是504的倍数．
∵60的倍数永远都有0，∴504的倍数不能只有1倍，
又∵用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字各一次，组成一个十位数，将这个十位数依次分成三段，每一段不少于3个数字，
∴504的倍数只可能是4536或者3528，即第三段的数只能为3528或者4536或者9576．
分三种情况：
①如果第三段的数为3528时，
第二段的数为960，此时第一段的数为174或714；
②如果第三段的数为4536时，
第二段的数可以为120，此时第一段的数为798或978；
或者第二段的数可以为180，此时第一段的数为792或972；
或者第二段的数可以为720，此时第一段的数为198或918；
或者第二段的数可以为780，此时第一段的数为192或912；
③如果第三段的数为9576时，
第二段的数可以为120，此时第一段的数为384或834；
或者第二段的数可以为180，此时第一段的数为234或324；
或者第二段的数可以为240，此时第一段的数为138或318；
或者第二段的数可以为420，此时第一段的数为138或318；
或者第二段的数可以为480，此时第一段的数为132或312；
或者第二段的数可以为840，此时第一段的数为132或312．
综上可知，第一段的数可以是174或714或798或978或792或972或198或918或192或912或384或834或234或324或138或318或132或312．

点评：本题考查了约数与倍数，分类讨论思想，属于竞赛题型，有一定难度．根据公倍数的原理求出第一、二、三段的数分别是6、60、504的倍数，进而结合已知条件确定第三段的数只能为3528或者4536或者9576是解题的关键．