Question

已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，
（1）试猜想AC与BD的大小关系，并说明理由；
（2）若AB=24，CD=10，小圆的半径为5

2

，求大圆的半径．

Answer 1

分析：（1）过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）连接OC，OA，由（1）中知AE=BE，CE=DE，故可得出AE及CE的长，在Rt△OCE中利用勾股定理求出OE的长，再在Rt△OAE中利用勾股定理可求出OA的长，故可得出结论．

解答：（1）AC=BD．
证明：作OE⊥AB于点E，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD；

（2）解：连接OC，OA，
∵AB=24，CD=10，由（1）中知AE=BE，CE=DE，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×24=12，CE=

1

2

CD=

1

2

×10=5，
∵在Rt△OCE中，CE=5，OC=5

2

，
∴OE=

OC2-CE2

=

(5 2 )2-52

=5，
∵在Rt△OAE中，OE=5，AE=12，
∴OA=

AE2+OE2

=

122+52

=13，
∴大圆的半径等于13．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．