Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截Rt△ABC，使截得的三角形与Rt△ABC相似，当

BP

BA

=

1

2

或

3

4

或

3

4

时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的

1

4

．

Answer 1

分析：根据相似三角形的性质，可得符合条件的直线有4条，再分别讨论，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案，小心别漏解．

解答：解：设P（l_x）截得的三角形面积为S，S=

1

4

S_△ABC，则相似比为1：2，
①第1条l₁，此时P为斜边AB中点，l₁∥AC，
∴

BP

BA

=

1

2

；
②第2条l₂，此时P为斜边AB中点，l₂∥BC，
∴

BP

BA

=

1

2

；
③第3条l₃，此时BP与BC为对应边，且

BP

BC

=

1

2

，
∴

BP

BA

=

BP BC

cos30°

=

3

4

；
④第4条l₄，此时AP与AC为对应边，且

BP

AC

=

1

2

，
∴

AP

AB

=

BP AC

sin30°

=

1

4

，
∴

BP

BA

=

3

4

．
∴当

BP

BA

=

1

2

或

3

4

或

3

4

时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的

1

4

．
故答案为：

1

2

或

3

4

或

3

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．