Question

如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；
（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
解答：解：（1）∵点A横坐标为4，
把x=4代入y=x中
得y=2，
∴A（4，2），
∵点A是直线y=x与双曲线y=（k＞0）的交点，
∴k=4×2=8；

（2）解法一：如图，
∵点C在双曲线上，
当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为（1，8）．
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．
∵S_矩形ONDM=32，S_△ONC=4，S_△CDA=9，S_△OAM=4．
∴S_△AOC=S_矩形ONDM-S_△ONC-S_△CDA-S_△OAM=32-4-9-4=15；

解法二：如图，
过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点C在双曲线上，
当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为（1，8）．
∵点C、A都在双曲线上，
∴S_△COE=S_△AOF=4，
∴S_△COE+S_梯形CEFA=S_△COA+S_△AOF．
∴S_△COA=S_梯形CEFA．
∵S_梯形CEFA=×（2+8）×3=15，
∴S_△COA=15；

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S_△POA=S_{平行四边形APBQ×}=×24=6，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），
得P（m，），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S_△POE=S_△AOF=4，
若0＜m＜4，如图，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6．
∴（2+）•（4-m）=6．
∴m₁=2，m₂=-8（舍去），
∴P（2，4）；

若m＞4，如图，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6．
∴（2+）•（m-4）=6，
解得m₁=8，m₂=-2（舍去），
∴P（8，1）．
∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．
点评：本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．