Question

如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB²=AF•AC，cos∠ABD=

3

5

，AD=12．
（1）求证：△ANM≌△ENM；
（2）求证：FB是⊙O的切线；
（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

Answer 1

（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
∴AM=ME，∠AMN=∠EMN．
又∵MN=MN，
∴△ANM≌△ENM．

（2）证明：∵AB²=AF•AC，
∴

AB

AC

=

AF

AB

．
又∵∠BAC=∠FAB=90°，
∴△ABF∽△ACB．
∴∠ABF=∠C．
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°，
∴FB是⊙O的切线．

（3）由（1）得AN=EN，AM=EM，∠AMN=∠EMN，
又∵AN∥ME，
∴∠ANM=∠EMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AN=AM，
∴AM=ME=EN=AN．
∴四边形AMEN是菱形．
∵cos∠ABD=

3

5

，∠ADB=90°，
∴

BD

AB

=

3

5

．
设BD=3x，则AB=5x，
由勾股定理AD=

(5x)2-(3x)2

=4x；
∵AD=12，
∴x=3，
∴BD=9，AB=15．
∵MB平分∠AME，
∴BE=AB=15，
∴DE=BE-BD=6．
∵ND∥ME，
∴∠BND=∠BME．
又∵∠NBD=∠MBE，
∴△BND∽△BME．
∴

ND

ME

=

BD

BE

．
设ME=x，则ND=12-x，

12-x

x

=

9

15

，解得x=

15

2

．
∴S=ME•DE=

15

2

×6=45．