Question

如图：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，若三角形三边长分别记为BC=a，AC=b，AB=c，内切圆半径记为r，现有小明和小华对半径进行计算，小明计算结果为r=

a+b-c

2

，小华计算结果为r′=

ab

a+b+c

，由此两人产生争议．请问这两个答案是否都正确，如正确请结合图形说明理由，如不正确也请说明理由．

Answer 1

分析：利用切线长定理以及正方形判定即可得出BF+AF=AB=c，（a-r）+（b-r）=c，进而得出答案，再利用三角形面积分割法求出内切圆半径即可．

解答：解：小明和小华回答都正确…（1分），
分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF…（1分），
∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，
∴CD=CE，AE=AF，BD=BF，∠OEC=∠ODC=Rt∠，
∵∠C=Rt∠，CD=CE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴CD=CE=r，AE=b-r=AF，BD=a-r=BF，
∵BF+AF=AB=c，
∴（a-r）+（b-r）=c，
∴r=

a+b-c

2

小明正确…（4分），
∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD=OE=OF，
∴S_△ABC=S_△BOC+S_△AOC+S_△AOB=

1

2

BC•DO+

1

2

AC•OE+

1

2

AB•FO，
=

1

2

（BC+AC+AB）•OD，
=

1

2

（a+b+c）r，
∵∠C=Rt∠，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

ab，
∴

1

2

(a+b+c)•r=

1

2

ab，
即r′=

ab

a+b+c

小华正确…（4分）．

点评：此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及直角三角形的性质，解答的关键是，充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和．