Question

如图，正三角形的边长为．
（1）如图①，正方形的顶点在边上，顶点在边上．在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形的边长；
（3）如图②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
（无原图）

Answer 1

（1）见解析（2）（3），，理由见解析

解：（1）如图①，正方形即为所求．

（2）设正方形的边长为．
∵△为正三角形，
∴．
∴．
∴，即．（没有分母有理化也对，也正确）
（3）如图②，连接，则．

设正方形、正方形的边长分别为，
它们的面积和为，则，．
∴．
∴．
延长交于点，则．
在中，．
∵，即．
∴ⅰ）当时，即时，最小．
∴．
ⅱ）当最大时，最大．
即当最大且最小时，最大．
∵，由（2）知，．
∴．
∴