Question

已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点.

（1）求证：AD=BE；

（2）求∠DOE的度数；

（3）求证：△MNC是等边三角形．

 

Answer 1

（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD

∴∠ACD=∠BCE    （1分）

∴△ACD≌△BCE   （2分）

∴AD=BE          （3分）

（2）∵△ACD≌△BCE

∴∠CDA =∠CEB     （4分）

∵在等边△CDE中 ∠CED=∠EDC=60°

∴∠CED+∠EDC=120°

∴∠CEB+∠OED+∠CDE=120°

∴∠CDA+∠OED+∠CDE=120°

∴∠ODE+∠CED=120°（5分）

∴∠DOE =60°      （6分）

（3）∵△ACD≌△BCE

∴∠CAD =∠CBE，AD=BE，AC=BC

    又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点

∴AM=AD，BN=BE

∴AM=BN 

∴△ACM≌△BCN 

∴CM=CN        （7分）

∠ACM=∠BCN

又∠ACB=60°

∴∠ACM+∠MCB=60°

∴∠BCN+∠MCB=60°

∴∠MCN=60°（8分）

∴△MNC是等边三角形．